Πέμπτη, 20 Μαρτίου 2014

Περί Μαθηματικών



Η περιοχή μελέτης που είναι γνωστή ως «ιστορία των μαθηματικών» είναι πρωτίστως μια έρευνα στις αρχές των ανακαλύψεων στα μαθηματικά και σε μικρότερο βαθμό μια έρευνα στις μαθηματικές μεθόδους και στους μαθηματικούς συμβολισμούς του παρελθόντος.

Η μελέτη της δομής, που θεματοποιείται σήμερα στα πλαίσια της άλγεβρας, προέκυψε κυρίως από τις ανάγκες εμπορικών υπολογισμών και ξεκίνησε με την πρακτική αριθμητική, δηλαδή με τους φυσικούς αριθμούς και τις τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις, καθώς και με την επίλυση απλών γραμμικών εξισώσεων. Γενικότερες ιδιότητες των αριθμών θα εξεταστούν αργότερα από τη θεωρία αριθμών, ενώ οι γραμμικές εξισώσεις θα μελετηθούν στα πλαίσια της γραμμικής άλγεβρας.

Πριν από την σύγχρονη εποχή και την παγκόσμια διάδοση της γνώσης, γραπτά παραδείγματα νέων μαθηματικών εξελίξεων έχουν έρθει στο φως μόνο σε μερικά τοπικά σύνολα. Η μελέτη του χώρου και του σχήματος, που ξεκίνησε από αστρονομικές παρατηρήσεις (Βαβυλώνιοι) ή και από μετρήσεις εμβαδών (Αιγύπτιοι), θεμελιώθηκε ήδη νωρίς στη γεωμετρία του Ευκλείδη. Το έργο του Ευκλείδη υπήρξε ίσως ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία των μαθηματικών, καθώς εισήγαγε την αξιωματική μέθοδο, η οποία δεν εγκατέλειψε από τότε ποτέ τα μαθηματικά. Ακόμη, οι κατασκευές με κανόνα και διαβήτη -βασική αποδεικτική μέθοδος και στον Ευκλείδη- απασχόλησαν τους μαθηματικούς για πολύ καιρό: ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου και η τριχοτόμηση της γωνίας, αποδείχτηκε μόλις το 19ο αιώνα ότι δεν μπορούν να επιτευχθούν με αυτήν τη μέθοδο. Τέλος την ίδια περίπου περίοδο, το περίφημο αξίωμα της παραλληλίας, ή αλλιώς «πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη», στάθηκε η αφορμή να ανακαλυφθούν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ και τον Νικολάι Λομπατσέφσκι. Τα πιο αρχαία μαθηματικά κείμενα που είναι διαθέσιμα είναι τα Βαβυλωνιακά Μαθηματικά (πινακίδα Plimpton 322, ~1900 π.Χ.)[26], και τα Αιγυπτιακά Μαθηματικά (ο Πάπυρος Μαθηματικών Rhind, ~2000-1800 π.Χ.[27] και ο Πάπυρος Μαθηματικών Μόσχας ~ 1890 π.Χ.). Όλα αυτά τα κείμενα περιλαμβάνουν το αποκαλούμενο Πυθαγόρειο Θεώρημα, που φαίνεται να είναι η πιο αρχαία και διαδεδομένη μαθηματική εξέλιξη μετά τη βασική Αριθμητική και Γεωμετρία.

Ωστόσο, η μελέτη των Μαθηματικών ως ένα αυτοτελές πεδίο άρχησε πράγματι τον 6ο αιώνα π.Χ. με τη Σχολή των Πυθαγορείων, που πιστώνονται και τον όρο «Μαθηματικά», από την αρχαία ελληνική λέξη «μάθημα», που σημαίνει «πεδίο μάθησης»[28]. Οι αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί σε μεγάλο βαθμό εξευγένησαν τις μεθόδους (κυρίως μέσω της εισαγωγής της επαγωγικής λογικής και της μαθηματικής ακρίβειας στις αποδείξεις) και επέκτειναν το πεδίο της ύλης των Μαθηματικών[29]. Οι αρχαίοι Κινέζοι μαθηματικοί έκαναν επίσης από νωρίς κάποιες συνεισφορές στο πεδίο των μαθηματικών, συμπεριλαμβάνοντας ένα σύστημα τοπογραφικής αξιολόγησης[30][31]. Το ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης και οι κανόνες χρήσης των πράξεών του, που βρίσκεται σε χρήση παγκοσμίως σύστημα, πιθανώς να αναπτύχθηκε κατά την 1η χιλιετία π.Χ. στην Ινδία και μεταδόθηκε στη Δύση μέσω των Ισλαμικών μαθηματικών[32][33]. Οι ίδιοι οι ισλαμικοί μαθηματικοί, με τη σειρά τους, ανέπτυξαν, επέκτειναν και διέδωσαν τα μαθηματικά μεταξύ των αυτών των πολιτισμών[34]. Πολλά ελληνικά και αραβικά κείμενα μεταφράστηκαν στα Λατινικά, γεγονός που οδήγησε σε παραπέρα ανάπτυξη των Μαθηματικών στη Μεσαιωνική Ευρώπη.

Από την Αρχαία Εποχή και μέσω του Μεσσαίωνα, εκρήξεις μαθηματικής δημιουργικότητας συχνά ακολουθήθηκαν από αιώνες στασιμότητας. Με την έναρξη της Αναγέννησης στην Ιταλία κατά το 16ο αιώνα, εμφανίστηκε μια νέα μαθηματική ανάπτυξη, αλληλεπιδρώντας με τις νέες επιστημονικές ανακαλύψεις στα υπόλοιπα επιστημονικά πεδία, η οποία ουσιαστικά συνεχίζεται, και μάλιστα επιταχυνόμενη, ως τις μέρες μας.

Η πρωτοκαθεδρία της ευκλείδειας γεωμετρίας αρχίζει να φθίνει μετά την ανακάλυψη του απειροστικού λογισμού από τον Ισαάκ Νιούτον και τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς το 17ο αιώνα. Το ενδιαφέρον των μαθηματικών στρέφεται στην έννοια της μεταβολής, της απόστασης και της προσέγγισης (όριο) και οδηγείται κυρίως από προβλήματα της φυσικής. Σύντομα θα αρχίσουν να αναπτύσσονται οι διάφοροι βασικοί κλάδοι της μαθηματικής ανάλυσης.

Προκειμένου να αποσαφηνιστούν τα θεμέλια των μαθηματικών και να διερευνηθούν οι σχέσεις φαινομενικά ασύνδετων κλάδων, άρχισε στα τέλη του 19ου αιώνα να αναπτύσσεται η Θεωρία συνόλων και η Μαθηματική λογική. Επίσης σε σύνδεση με προβλήματα κυρίως της φυσικής αναπτύσσεται ιδιαίτερα κατά τον 19ο και 20ο αιώνα ο κλάδος της Στατιστικής.

Σήμερα, οι βασικοί κλάδοι των μαθηματικών συνεχίζουν να αναπτύσσονται και να διακλαδίζονται περισσότερο, αλλά και πληθαίνουν οι εφαρμογές τους: στην Επιστήμη Υπολογιστών, τη Βιολογία, την Οικονομία, την Οικολογία κ.λπ, τα μαθηματικά παίζουν ολοένα και σημαντικότερο ρόλο.

Διάσημες μαθηματικές προτάσεις είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα, το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά, η Υπόθεση του συνεχούς του Γκέοργκ Κάντορ, το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας, το θεώρημα μη πληρότητας του Κουρτ Γκέντελ κ.ά., ενώ πολύ γνωστές εικασίες που μένουν να αποδειχτούν είναι μεταξύ άλλων η Υπόθεση του Ρήμαν, η Eικασία του Γκόλντμπαχ και η "P ≠ NP". Τα 23 προβλήματα του Νταβίντ Χίλμπερτ, διατυπωμένα στις αρχές του 20ου αιώνα, αν και σήμερα ως επί το πλείστον απαντημένα, έδωσαν νέες κατευθύνσεις στην μαθηματική έρευνα.

Μερικά από τα υψηλότερα βραβεία στα μαθηματικά είναι το μετάλλιο Fields, το βραβείο Abel και το βραβείο Wolf. Δεν υπάρχει Βραβείο Νόμπελ για τα μαθηματικά.